הרב שאר־ישוב הכהן בנו של 'הנזיר' רבי דוד כהן, ולימים הרב הראשי לחיפה וחבר מועצת הרבנות הראשית, נולד בט' בחשון תרפ"ח, כנזיר מבטן, לאחר שאמו נהגה בנזירות בזמן הריונו. הרקע לתוספת השם 'אליהו' על שמותיו מתואר ביומנו של אביו רבי דוד ('משנת הנזיר' עמ' צד):
"עודנו ילד כבן שלשת רבעי שנה, טרם ידע קרוא ודבר 'אבא' 'אמא', היה שוכב בעריסה, ושר: "אליהו הבִּיבִּי", בניגון אליהו הנביא, שקלטה אזנו בזמירות מוצאי־שבת־קודש.
זה היה דבורו הראשון: אלי־יהו, ה־בי־בי (התשבי).
בשנת תר"צ, בהיותו בן שנתיים ויותר, חלה במחלת דלקת הריאות, בחום גבוה, קרוב לארבעים ואחת. לקחוהו לבית חולים, ומצבו היה מיואש.
הלכתי עם מנין חברים מישיבתנו הקדושה 'מרכז הרב' אל הכותל המערבי. ואני פני אל הקיר, כותל דביר קודשנו, ושפתי דובבות בלחש. ואתפלל מעומק הלב, בדמעות חמות, לאל אלהי ישראל, רופא כל בשר, אשר בידו אפקיד רוחו. ואז אמרתי להוסיף לו השם, אליהו, זכותו תגן עליו… אמרו מתמניא אפי (מתהלים מזמור קיט) פסוקים שבראשם שמו, והוסיפו לו השם: אליהו, באמרי, זכותו של אליהו, ששמו היה בדבורו הראשון בעריסה, תגן עליו.
בחזרנו העירה נגשתי לבית החולים, ובאותו הלילה היה המשבר, ובא שינוי לטובה, כעבור יומיים, במוצש"ק נכנסתי אליו לבית החולים בחדרו, נגשתי אל מטתו והכירני, ודברתי עמו, אמרתי לו: 'אתה יודע, אתה אליהו הנביא', ושמח וחייך, ויוסף לאמור: 'אבל הוא זקן'.
בעוד זמן קצר, הבאנו את אליהו יוסף שאר־ישוב הביתה, ויהי לנס".